Question

16．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax²+1的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x）
（1）若f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若a=1，證明：$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞2-2ln2，其中x₁≠x₂．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≤$\frac{{e}^{x}}{2x}$在（0，+∞）恒成立，令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{2x}$，（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；
（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為f′（x）＞2-2ln2，求出f′（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-2ax，
若f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
則a≤$\frac{{e}^{x}}{2x}$在（0，+∞）恒成立，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{2x}$，（x＞0），
則g′（x）=$\frac{2（x-1）}{{e}^{x}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞1，
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故g（x）_min=g（1）=$\frac{e}{2}$，
故a≤$\frac{e}{2}$；
（2）a=1時，f（x）=e^x-x²+1，
f′（x）=e^x-2x，f″（x）=e^x-2，
令f″（x）＞0，解得：x＞ln2，
令f″（x）＜0，解得：x＜ln2，
故f′（x）在（-∞，ln2）遞減，在（ln2，+∞）遞增，
故f′（x）_min=f（ln2）=2-2ln2，
即$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞2-2ln2，其中x₁≠x₂．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．