Question

己知：f（x）=lnx-ax+1，
（1）當(dāng)a=1時，求證：f（x）≤0
（2）當(dāng)a∈R時，討論函數(shù)的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=lnx-x+1，（x＞0）．f′（x）=

1

x

-1，分別令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解出，即可得出單調(diào)性極值．
（2）f′（x）=

1

x

-a，（x＞0）．對a分類討論：a≤0，a＞0，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．

解答： （1）證明：當(dāng)a=1時，f（x）=lnx-x+1，（x＞0）．
f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，令f′（x）=0，解得x=1．
令f′（x）＞0，解得0＜x＜1，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；令f′（x）＜0，解得1＜x，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取得極大值，即最大值，f（1）=0．
∴f（x）≤f（1）=0．
（2）解：f′（x）=

1

x

-a，（x＞0）．
當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時，f′（x）=

-a(x- 1 a )

x

，
令f′（x）＞0，解得0＜x＜

1

a

；令f′（x）＜0，解得x＞

1

a

．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，

1

a

)，單調(diào)遞減為(

1

a

，+∞)．
綜上可得：當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，

1

a

)，單調(diào)遞減為(

1

a

，+∞)．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．