Question

已知直線l經過點P（1，1），傾斜角為α，設直線l與曲線y²=4x交于點M，N．
（1）若α=

π

3

，求直線l的參數方程和弦MN的長度．
（2）求|PM|•|PN|的最小值及相應的α的值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質,平面向量數量積的運算

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）根據直線的參數方程的特征及參數的幾何意義，直接寫出直線的參數方程．利用弦長公式求弦長；
（2）當當|PM|=|PN|時，|PM|•|PN|最小，即P是MN的中點．

解答： ：（1）由于過點（a，b） 傾斜角為α 的直線的參數方程為 

x=a+tcosα y=b+tsinα

，
∵直線l經過點P（1，1），傾斜角α=

π

3

，故直線的參數方程是

x=1+ t 2 y=1+ 3 2 t

．
直線l的方程為：y-1=

3

(x-1)，①
把①代入y²=4x，消去x得：

3

y2-4y-4(

3

-1)=0，
弦長|MN|=

1+ 1 k

|y1-y2|=

1+ 1 3

(y1+y2)2-4y1y2

=

4 3

×

( 4 3 )2+4 4×( 3 -1) 3

=

8

3

4- 3

；
（2）當|PM|=|PN|時，|PM|•|PN|最小，
所以P為M、N的中點，設M（(

y12

4

，y1)，N（

(2-y1)2

4

，2-y1），
則

y12

4

+

(2-y1)2

4

=2，
解得：y1=1+

3

，y2=1-

3

，
所以M（1+

3

2

，1+

3

）或M(1-

3

2

，1-

3

)
|PM|•|PN|≤

(1± 3 -1)2+(1± 3 2 -1)2

=

15

2

，
此時tanα=

1± 3 -1

1± 3 2 -1

=2，
所以α=arctan2．

點評：本題主要考查直線的參數方程、弦長公式、圓錐曲線中的最值問題，屬于中檔題．