Question

4．已知函數(shù)f（x）=（2x-x²）e^x，則函數(shù)f（x）的極大值與極小值之積為-4．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的極大值和極小值，從而求出大值與極小值之積即可．

解答 解：f′（x）=（2-x²）e^x，
令f′（x）＞0，解得：-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{2}$或x＜-$\sqrt{2}$，
∴f（x）在（-∞，-$\sqrt{2}$）遞減，在（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）遞增，在（$\sqrt{2}$，+∞）遞減，
∴f（x）_極大值=f（$\sqrt{2}$）=2（$\sqrt{2}$-1）${e}^{\sqrt{2}}$，f（x）_極小值=f（-$\sqrt{2}$）=-2（$\sqrt{2}$+1）${e}^{-\sqrt{2}}$，
∴∴f（x）_極大值•f（x）_極小值=f（$\sqrt{2}$）•f（-$\sqrt{2}$）=[2（$\sqrt{2}$-1）${e}^{\sqrt{2}}$]•[-2（$\sqrt{2}$+1）${e}^{-\sqrt{2}}$]=-4，
故答案為：-4．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、極值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．