Question

9．已知函數f（x+1）為奇函數，函數f（x-1）為偶函數，且f（0）=2，則f（2016）=2．

Answer 1

分析 先根據函數f（x+1）為奇函數得到f（x+1）=-f（-x+1）；再結合函數f（x-1）是偶函數得到f（x-1）=f（-x-1），聯(lián)立可求函數的周期，從而得出f（2016）=f（0）．

解答 解：∵函數f（x+1）為奇函數，
∴f（x+1）=-f（-x+1），
令t=x+1可得f（t）=-f（2-t），
∵函數f（x-1）是偶函數，
∴f（x-1）=f（-x-1），
令x-1=t，得f（t）=f（-t-2），
∴f（-t-2）=-f（-t+2），
令-t-2=m，則f（m）=-f（m+4），
∴f（m+8）=f（m）
即函數以8為周期的周期函數．
∴f（2016）=f（0）=2．
故答案為：2．

點評 本題主要考查函數奇偶性的應用，解決問題的關鍵在于解出函數的周期．