Question

1．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2，并且經(jīng)過點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）在橢圓C上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，點(diǎn)D為垂足，若點(diǎn)M在線段DP的延長(zhǎng)線上并且滿足|DM|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$|DP|，求點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓的定義求出a，利用c，求出b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)出M（x，y），由點(diǎn)M在線段DP的延長(zhǎng)線上并且滿足|DM|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$|DP|，M的坐標(biāo)用P的坐標(biāo)表示，代入橢圓C的方程，即可求點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：（Ⅰ）由題意，2a=$\sqrt{4+\frac{9}{4}}$+$\sqrt{0+\frac{9}{4}}$=4，∴a=2，
∵c=1，
∴b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）設(shè)M（x，y）（y≠0），
∵|DM|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$|DP|，
∴P（x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$y），
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，可得x²+y²=4（y≠0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡方程的求法，考查了代入法求曲線的軌跡方程，是中檔題．