分析 (1)利用直接法,建立方程,即可求曲線C的方程.
(2)直線與圓的方程聯(lián)立,求出A,B的坐標(biāo),利用斜率公式,即可證明直線BC的斜率為定值.
解答 (1)解:曲線C上的任意一點(diǎn)為Q(x,y),
由題意得$\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{{\sqrt{{{(x-3)}^2}+{{(y+6)}^2}}}}=\frac{1}{2}⇒{(x+1)^2}+{(y-2)^2}=20$-------(5分)
(2)證明:由題意知,直線PB和直線PC的斜率存在,且互為相反數(shù),P(1,-2)
故可設(shè)PA:y+2=k(x-1),-------(6分)
由$\left\{{\begin{array}{l}{y+2=k(x-1)}\\{{{(x+1)}^2}+{{(y-2)}^2}=20}\end{array}}\right.⇒(1+{k^2}){x^2}+2(1-{k^2}-4k)x+{k^2}+8k-3=0$
因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)x=1一定是該方程的解,故可得${x_A}=\frac{{{k^2}+8k-3}}{{1+{k^2}}}$,
同理,${x_B}=\frac{{{k^2}-8k-3}}{{1+{k^2}}}$,
所以${k_{AB}}=\frac{{{y_B}-{y_A}}}{{{x_B}-{x_A}}}=\frac{{-k({x_B}-1)-k({x_A}-1)}}{{{x_B}-{x_A}}}=\frac{{2k-k({x_B}+{x_A})}}{{{x_B}-{x_A}}}=-\frac{1}{2}$
故直線BC的斜率為定值$-\frac{1}{2}$.-------(12分)
點(diǎn)評 本題考查軌跡方程,考查直線的斜率為定值的證明,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是中檔題.
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A. | $\frac{{\sqrt{3}π}}{2}$ | B. | $\frac{4π}{3}$ | C. | $\frac{{\sqrt{2}π}}{3}$ | D. | $\frac{π}{6}$ |
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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