Question

16．如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為矩形，AF⊥DF，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都等于$α（0＜α＜\frac{π}{2}）$．
（Ⅰ）證明：平面ABEF⊥平面EFDC
（Ⅱ）求證：四邊形EFDC為等腰梯形．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AF⊥EF，AF⊥DF，推出AF⊥面EFDC，然后證明平面ABEF⊥平面EFDC．
（Ⅱ）由 （Ⅰ）∠DFE=∠CEF=60°，說(shuō)明AB∥EF，證明AB∥平面EFCD，證明CD∥EF，即可證明四邊形EFDC為等腰梯形．

解答 解：（Ⅰ）∵ABEF為矩形，∴AF⊥EF，
又 AF⊥DF，DF∩EF=F
∴AF⊥面EFDC，
又AF?面ABEF，
∴平面ABEF⊥平面EFDC…..（6分）
（Ⅱ）由 （1）∠DFE=∠CEF=60°，
∵AB∥EF，AB?平面EFDC，EF?平面EFDC
∴AB∥平面EFCD，AB?平面ABCD
∵面ABCD∩面EFDC=CD
∴AB∥CD，∴CD∥EF
∴四邊形EFDC為等腰梯形…..（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定定理，平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．