Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|4-{x}^{2}|，x≤0}\\{{2}^{2-x}，0＜x≤2}\\{lo{g}_{2}x，x＞2}\end{array}\right.$，
（1）畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）求f（f（3））的值；
（3）求f（a²+1）（a∈R）的最小值．

Answer 1

分析 （1）分段作圖；
（2）求出f（3）的值，判斷范圍，進(jìn)行二次迭代；
（3）求出a²+1的范圍，根據(jù)圖象得出結(jié)論．

解答 解：（1）作出函數(shù)圖象如右圖所示，
（2）∵f（3）=log₂3，∴0＜f（3）＜2，
∴f（f（3））=f（log₂3）=2${\;}^{2-lo{g}_{2}3}$=$\frac{{2}^{2}}{{2}^{lo{g}_{2}3}}$=$\frac{4}{3}$．
（3）由函數(shù)圖象可知f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)，
∵a²+1≥1，
∴當(dāng)a²+1=2時(shí)，f（a²+1）取得最小值f（2）=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)作圖，函數(shù)求值及單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象可快速得出結(jié)論．