Question

1．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長等于2的正方形，其他四個側面都是邊長等于$\sqrt{5}$的等腰三角形，點E是PC中點．
（1）求證：PA∥平面EBD；
（2）求證：平面PAC⊥平面PBD；
（3）若該四棱錐P-ABCD是一個銅制的幾何體，將它熔鑄成一個實心球體，假設熔鑄過程沒有材料損失，求這個球體的表面積．

Answer 1

分析 （1）利用線面平行的判定定理證明PA∥平面EBD；
（2）證明AC⊥平面PBD，即可證明平面PAC⊥平面PBD；
（3）求出四棱錐P-ABCD，利用等體積求出球的半徑，即可求這個球體的表面積．

解答 （1）證明：設AC∩BD=O，連接PO，則O是AC的中點，
∵點E是PC中點，
∴OE∥PA，
∵PA?平面EBD，OE?平面EBD，
∴PA∥平面EBD；
（2）證明：∵PA=PC，O是AC的中點，
∴PO⊥AC，
∵底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PO∩BD=O，
∴AC⊥平面PBD，
∵AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD；
（3）解：∵底面ABCD是邊長等于2的正方形，其他四個側面都是邊長等于$\sqrt{5}$的等腰三角形，
∴PO=$\sqrt{3}$，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}×2×2×\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
設球的半徑為R，則$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴R=$\frac{\root{6}{3}}{\root{3}{π}}$，
∴S=4πR²=4$\root{6}{9{π}^{2}}$．

點評 本題考查線面平行的判定，考查平面與平面垂直的判定，考查體積的計算，掌握線面平行的判定、平面與平面垂直的判定是關鍵．