Question

6．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的方程ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y=at}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）與曲線C交于A、B兩點(diǎn)．
（I）當(dāng)|AB|最大時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值；
（II）當(dāng)|AB|最小時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （I）把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$及其ρ²=x²+y²代入即可得到直角坐標(biāo)方程，當(dāng)|AB|最大時(shí)，直線l經(jīng)過(guò)圓心（1，1）．
（II）當(dāng)|AB|最小時(shí)，直線l與圓相切，即可得出．

解答 解：（I）曲線C的方程ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），展開(kāi)可得：ρ²=2$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ-sinθ），可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²-2x+2y=0，配方為（x-1）²+（y-1）²=2，
直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y=at}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）化為直角坐標(biāo)方程；y=$\frac{a}{2}$x，
當(dāng)|AB|最大時(shí)，直線l經(jīng)過(guò)圓心（1，1），∴1=$\frac{1}{2}a$，解得a=2．
（II）當(dāng)|AB|最小時(shí)，直線l與圓相切，∴$\frac{|a-2|}{\sqrt{{a}^{2}+4}}$=$\sqrt{2}$，解得a=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．