Question

10．函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}-1}{x-2}$的值域是（　�。�

• A． [-$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$]
• B． [-$\frac{4}{3}$，0]
• C． [0，$\frac{4}{3}$]
• D． [0，1]

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的定義域，利用換元法轉(zhuǎn)化為兩點間的斜率關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}≥0}\\{x-2≠0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{x≠2}\end{array}\right.$，則-1≤x≤1，即函數(shù)的定義域為[-1，1]，
設(shè)x=sinα，則函數(shù)f（x）等價為y=$\frac{\sqrt{1-si{n}^{2}α}-1}{sinα-2}$=$\frac{|cosα|-1}{sinα-2}$，
設(shè)P（sinα，|cosα|），則點P在單位圓x²+y²=1的上半部分，
則$\frac{|cosα|-1}{sinα-2}$的幾何意義是圓上點到點A（2，1）的斜率，
由圖象知AB的斜率最小，此時k=0，

AC的斜率最大，此時k=$\frac{0-1}{1-2}=\frac{-1}{-1}$=1，
故0≤k≤1，
故函數(shù)f（x）的值域是[0，1]，
故選：D

點評 本題主要考查函數(shù)值域的求解，利用換元法轉(zhuǎn)化為兩點斜率的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強．