Question

3．如圖，在正△ABC中，點D、E分別在邊AC、AB上，且$AD=\frac{1}{3}AC$，$AE=\frac{2}{3}AB$，BD、CE相交于點F．
（Ⅰ）求證：A、E、F、D四點共圓，并求∠BFC的大��；
（Ⅱ）求證：2BF•BD=CF•CE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出∠BFC的大小，再利用對角互補四點共圓，即可證明；
（Ⅱ）利用割線定理證明：2BF•BD=CF•CE．

解答 證明：（Ⅰ）因為AD=BE，AB=BC，∠BAD=∠CBE，則△ABD≌△BCE，
故∠ABD=∠BCE，
所以∠BCE+∠CBD=∠ABD+∠CBD=∠ABC=60°，
所以∠BFC=180°-（∠BCE+∠CBD）=120°．
所以，∠BAC+∠EFD=60°+∠BFC=180°，故A，E，F(xiàn)，D四點共圓．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知CF•CE=CD•CA=2BE•BA=2BF•BD，即2BF•BD=CF•CE．

點評 本題考查對角互補四點共圓，考查割線定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．