Question

9．設f（x）是[-3，3]上的偶函數(shù)，且當x∈[0，3）時，f（x）=x²+2x，若f（3）=f（0）
（1）求f（x）的解析式；
（2）解方程f（x）=3；
（3）若不等式f（x）≤a²-2a恒成立，求a的范圍．

Answer 1

分析 （1）可設x∈（-3，0），從而有-x∈（0，3），這樣便可求出f（x）=x²-2x，并容易求出f（-3）=f（3）=0，從而可得出f（x）的解析式；
（2）討論x的范圍：x∈（0，3）時，解方程x²+2x=3，而x∈（-3，0）時，解方程x²-2x=3，這樣即可得出原方程的解集；
（3）根據(jù)f（x）在[-3，3]上為偶函數(shù)，以及f（3）=f（-3）=0，x∈[0，3）時，f（x）=x²+2x單調(diào)遞增，從而可以求出函數(shù)f（x）的值域為[0，15），從而有15≤a²-2a，解該不等式即可得出a的范圍．

解答 解：（1）設x∈（-3，0），0＜-x＜3；
∴f（-x）=x²-2x=f（x）；
又f（-3）=f（3）=f（0）=0；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x}&{x∈[0，3）}\\{{x}^{2}-2x}&{x∈（-3，0）}\\{0}&{x=±3}\end{array}\right.$；
（2）①若x∈（0，3），f（x）=x²+2x；
∴由f（x）=3得，x²+2x=3；
解得x=1，或x=-3（舍去）；
②若x∈（-3，0），f（x）=x²-2x；
∴解x²-2x=3得，x=-1，或x=3（舍去）；
∴f（x）=3的解集為{-1，1}；
（3）f（x）=x²+2x在[0，3）上單調(diào)遞增；
∴f（0）≤f（x）＜f（3）；
即0≤f（x）＜15；
根據(jù)f（x）在[-3，3]上為偶函數(shù)，f（-3）=f（3）=0便得：0≤f（x）＜15；
∴15≤a²-2a；
解得a≤-3，或a≥5；
∴a的范圍為（-∞，-3]∪[5，+∞）．

點評 考查偶函數(shù)的定義，已知偶函數(shù)一區(qū)間上的解析式，求其對稱區(qū)間上解析式的方法，解一元二次方程，解一元二次不等式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)值域，以及求偶函數(shù)值域的方法，函數(shù)恒成立問題的解決方法．