Question

20．已知函數(shù)f（x）=1+lnx-$\frac{k（x-2）}{x}$（k∈R），g（x）=x+$\frac{8}{x}$．
（1）若函數(shù)f（x）有極值，求實數(shù)k的取值范圍：
（2）若當x＞2時，f（x）＞0恒成立，求證：當實數(shù)k取最大整數(shù)且x＞2時，g（x）＞f（x）+3．（參考數(shù)據(jù)ln8=2.08，ln9=2.20，ln10=2.30）

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），再化簡求導f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2k}{{x}^{2}}$=$\frac{x-2k}{{x}^{2}}$，從而確定函數(shù)的單調(diào)性與極值，從而求實數(shù)k的取值范圍；
（2）分類討論可知最大整數(shù)k值為4；從而化簡f（x）=1+lnx-4+$\frac{8}{x}$，g（x）=x+$\frac{8}{x}$，從而作差證明即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
∵f（x）=1+lnx-k+$\frac{2k}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2k}{{x}^{2}}$=$\frac{x-2k}{{x}^{2}}$，
∵函數(shù)f（x）有極值，
∴f′（x）=0在（0，+∞）上有解，
即x-2k=0在（0，+∞）上有解，
故k＞0；
（2）證明：若k=0，則f（x）=1+lnx＞0在（2，+∞）上恒成立，
若k=1，由（1）知，f（x）在（0，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)；
故只需使f（2）=1+ln2-$\frac{2-2}{2}$=1+ln2≥0，
顯然成立；
若k＞1，則f（x）在（0，2k）上是減函數(shù)，在（2k，+∞）上是增函數(shù)；
故只需使f（2k）=1+ln2k-$\frac{k（2k-2）}{2k}$=2+ln2k-k＞0，
求導可知m（k）=2+ln2k-k在（1，+∞）上是減函數(shù)，
且m（4）=2+ln8-2≈2+2.08-4＞0，
m（5）=2+ln10-5≈2+2.30-5＜0；
綜上所述，最大整數(shù)k值為4；
故f（x）=1+lnx-4+$\frac{8}{x}$，g（x）=x+$\frac{8}{x}$，
故h（x）=g（x）-f（x）-3=x+$\frac{8}{x}$-（1+lnx-4+$\frac{8}{x}$）-3
=x-lnx；
h′（x）=1-$\frac{1}{x}$＞0，
故h（x）在（2，+∞）上是增函數(shù)，
故h（x）＞h（2）=2-ln2＞0；
故g（x）＞f（x）+3成立．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題與最值問題，注意求極值要判斷函數(shù)的單調(diào)性．