Question

15．在△ABC中，∠C的平分線所在直線l的方程為y=2x，若點(diǎn)A（-4，2），B（3，1）．
（1）求點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求AC邊上的高所在的直線方程；
（3）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)D（m，n），利用垂直以及中點(diǎn)在軸上求得、mn的值，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）由條件求得D的坐標(biāo)，可得AC的斜率，從而求得AC邊上的高所在的斜率，進(jìn)而求得AC邊上的高所在的方程．
（3）由AC、BC的斜率互為負(fù)倒數(shù)，可得故AC⊥BC，求得AC、BC的值，從而求得△ABC的面積．

解答 解：（1）△ABC中，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)D（m，n），則$\left\{\begin{array}{l}\frac{n-2}{m+4}=-\frac{1}{2}\\ \frac{n+2}{2}=2×\frac{m-4}{2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}m=4\\ n=-2\end{array}\right.$，
∴D（4，-2）．
（2）∵D點(diǎn)在直線BC上，∴直線BC的方程為3x+y-10=0，
因?yàn)镃在直線y=2x上，所以$\left\{\begin{array}{l}3x+y-10=0\\ y=2x\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=4\end{array}\right.$，所以C（2，4）．
∴${k_{AC}}=\frac{1}{3}$，所以AC邊上的高所在的直線的斜率為-3，
再結(jié)合B（3，1），可得AC邊上的高所在的直線的方程為 y-1=-3（x-3），即 3x+y-10=0．
（3）由于AC的斜率為$\frac{2-4}{-4-2}$=$\frac{1}{3}$，BC的斜率為 $\frac{1-4}{3-2}$=-3，故AC⊥BC．
再根據(jù)AC=$\sqrt{{（4+4）}^{2}{+（2+2）}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，BC=$\sqrt{{（3-4）}^{2}{+（1+2）}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AC×BC=\frac{1}{2}×2\sqrt{10}×\sqrt{10}=10$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)，求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的方法，用點(diǎn)斜式求直線的方程，屬于基礎(chǔ)題．