已知正項數(shù)列的前項和為，且 .
（1）求的值及數(shù)列的通項公式；
（2）求證：；
（3）是否存在非零整數(shù)，使不等式
對一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

(1) ,
(2)根據(jù)題意，由于，∴.放縮法來得到證明。
(3)，由是非零整數(shù)，知存在滿足條件．

解析試題分析：(1）由.
當時，，解得或（舍去）．  2分
當時，
由，
∵，∴，則，
∴是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，故．  4分
另法：易得，猜想，再用數(shù)學歸納法證明(略)．
（2）證法一：∵
， 4分
∴當時，

.… 7分
當時，不等式左邊顯然成立.         8分
證法二：∵，∴.
∴. 4分
∴當時，
. 7分
當時，不等式左邊顯然成立.  ……8分
（3）由，得，
設(shè)，則不等式等價于.
，……9分
∵，∴，數(shù)列單調(diào)遞增.          
假設(shè)存在這樣的實數(shù)，使得不等式對一切都成立，則
① 當為奇數(shù)時，得； ……11分
② 當為偶數(shù)時，得，即.  12分
綜上，，由是非零整數(shù)，知存在滿足條件．  12分
考點：數(shù)列與不等式
點評：解決的關(guān)鍵是利用數(shù)列的單調(diào)性來證明不等式，以及分離參數(shù)的思想來求解參數(shù)的取值范圍。

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知是數(shù)列的前項和，且對任意，有，
求的通項公式；
求數(shù)列的前項和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設(shè)數(shù)列的前項和為，，，，．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列的前項和.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

下圖是一個按照某種規(guī)律排列出來的三角形數(shù)陣

假設(shè)第行的第二個數(shù)為
（1）依次寫出第六行的所有6個數(shù)字(不必說明理由);
（2）寫出與的遞推關(guān)系(不必證明),并求出的通項公式
（3）設(shè),求證:.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設(shè)數(shù)列的前項和為，且方程有一個根為，．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）設(shè)方程的另一個根為，數(shù)列的前項和為，求的值；
（3）是否存在不同的正整數(shù)，使得，，成等比數(shù)列，若存在，求出滿足條件的，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列具有性質(zhì)：①為整數(shù)；②對于任意的正整數(shù)，當為偶數(shù)時，
；當為奇數(shù)時，.
（1）若為偶數(shù)，且成等差數(shù)列，求的值；
（2）設(shè)(且N)，數(shù)列的前項和為，求證：；
（3）若為正整數(shù)，求證：當(N)時，都有.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

數(shù)列的前項和為，，，等差數(shù)列滿足．
（1）分別求數(shù)列，的通項公式；      
（2）設(shè)，求證．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：，其中λ為實數(shù)，n為正整數(shù)．
（Ⅰ）若數(shù)列{an}前三項成等差數(shù)列，求的值；
（Ⅱ）試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）設(shè)0<a<b，Sn為數(shù)列{bn}的前n項和．是否存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，都有a<Sn<b?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本題滿分14分）
已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足.
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）設(shè)，求滿足不等式的所有正整數(shù)的值.

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