Question

14．已知sinα+cosα=$\sqrt{2}$，α∈（0，π），則$tan（α-\frac{π}{3}）$=（　　）

• A． $2-\sqrt{3}$
• B． $-2-\sqrt{3}$
• C． $-2+\sqrt{3}$
• D． $2+\sqrt{3}$

Answer 1

分析 已知等式兩邊平方，利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡(jiǎn)求出sinαcosα的值，再利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間基本關(guān)系sinα-cosα的值，確定出sinα與cosα的值，進(jìn)而求出α的度數(shù)，代入原式利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果．

解答 解：把sinα+cosα=$\sqrt{2}$，兩邊平方得：（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=2，即sinαcosα=$\frac{1}{2}$，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=0，
∴sinα-cosα=0，即sinα=cosα，
∵α∈（0，π），
∴sinα=cosα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即α=$\frac{π}{4}$，
則原式=tan（$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{3}$）=$\frac{tan\frac{π}{4}-tan\frac{π}{3}}{1+tan\frac{π}{4}tan\frac{π}{3}}$=$\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}$=-2+$\sqrt{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．