Question

19．已知函數(shù)f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）-2cos2x+1．
（I）求函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)中心；
（Ⅱ）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，若△ABC為銳角三角形且f（A）=0，求$\frac{c}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩角和的余弦定理和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，由正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心求得函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心．
（2）根據(jù)正弦定理，化簡(jiǎn)$\frac{c}$，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求出．

解答 解：（1）$f（x）=2cos（2x+\frac{π}{3}）-2cos2x+1$，
=-cos2x-$\sqrt{3}$sin2x+1，
=-2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
對(duì)稱(chēng)中心橫坐標(biāo)滿(mǎn)足：2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，
∴x=-$\frac{π}{12}$+$\frac{k}{2}$π，
∴對(duì)稱(chēng)中心為（-$\frac{π}{12}$+$\frac{k}{2}$π，1）
（2）∵f（A）=0，
∴-2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=0，
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
A=$\frac{π}{3}$，
∴B+C=$\frac{2π}{3}$
∵△ABC為銳角三角形
∴$\frac{c}$=$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}cosC+\frac{1}{2}sinC}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\frac{1}{tanC}$+$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜$\frac{π}{2}$，0＜C＜$\frac{π}{2}$
∴$\frac{π}{6}$＜C＜$\frac{π}{2}$
∴tanC＞$\sqrt{3}$
∴$\frac{1}{tanC}$＜$\frac{1}{\sqrt{3}}$
∴$\frac{1}{2}$＜$\frac{c}$＜2
∴$\frac{c}$的范圍是（$\frac{1}{2}$，2）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，兩角和的正弦與余弦公式，正切函數(shù)的應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用．