Question

11．函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c（其中a，b，c∈R），若g（x）=f（x）+f′（x）為奇函數(shù)，且y=f（x）在（0，f（0））處的切線與直線x+y-2=0垂直．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）討論g（x）的單調(diào)性，并求g（x）在[-1，3]上的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導數(shù)，求得切線的斜率，再由兩直線垂直的條件可得b=1，由奇函數(shù)的定義可得a=-3，b+c=0，即可得到a，b，c的值；
（Ⅱ）求出g（x）的解析式，求出導數(shù)，令導數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導數(shù)小于0，得減區(qū)間，進而得到極小值，也為最小值，求出端點的函數(shù)值，即可得到最大值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x³+ax²+bx+c的導數(shù)為f′（x）=3x²+2ax+b，
g（x）=f（x）+f′（x）為奇函數(shù)，
即有g(shù)（x）=x³+（a+3）x²+（2a+b）x+b+c為奇函數(shù)，
即有g(shù)（-x）=g（x），
則a=-3，b+c=0，
y=f（x）在（0，f（0））處的切線斜率為k=b，
由于切線與直線x+y-2=0垂直，
即有b=1，c=-1，
故a=-3，b=1，c=-1；
（Ⅱ）g（x）=x³-5x，g′（x）=3x²-5=3（x-$\frac{\sqrt{15}}{3}$）（x+$\frac{\sqrt{15}}{3}$），
令g′（x）＞0，可得x＞$\frac{\sqrt{15}}{3}$或x＜-$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
令g′（x）＜0，可得-$\frac{\sqrt{15}}{3}$＜x＜$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
即有g(shù)（x）的增區(qū)間為（-∞，-$\frac{\sqrt{15}}{3}$），（$\frac{\sqrt{15}}{3}$，+∞），
減區(qū)間為（-$\frac{\sqrt{15}}{3}$，$\frac{\sqrt{15}}{3}$）．
x=$\frac{\sqrt{15}}{3}$處，g（x）取得極小值，也為最小值，且為-$\frac{10\sqrt{15}}{9}$，
而g（-1）=4，g（3）=12，
則g（x）的最大值為12．
故g（x）在[-1，3]上的最小值為-$\frac{10\sqrt{15}}{9}$，最大值為12．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，主要考查導數(shù)的幾何意義和二次不等式的解法，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．