Question

6．若偶函數(shù)y=f（x）（x∈R且x≠0）在（-∞，0）上的解析式為f（x）=ln（-$\frac{1}{x}$），則函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的斜率為$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由函數(shù)為偶函數(shù)結(jié)合已知函數(shù)的解析式求出函數(shù)在x＞0時的解析式，然后求其導(dǎo)函數(shù)，取x=2得函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的斜率．

解答 解：設(shè)x＞0，則-x∈（-∞，0），
∴f（-x）=ln（$-\frac{1}{-x}$）=ln$\frac{1}{x}$，
∵y=f（x）為偶函數(shù)，
∴f（x）=ln$\frac{1}{x}$（x＞0），
當(dāng)x＞0時，${f}^{′}（x）=x•（-\frac{1}{{x}^{2}}）=-\frac{1}{x}$，
則${f}^{′}（2）=-\frac{1}{2}$．
∴函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的斜率為$-\frac{1}{2}$．
故答案為：$-\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)的切線方程，過曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，是基礎(chǔ)題．