Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{e^x}{x}$．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線方程為ax-y=0，求x₀的值；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，求證：f（x）＞x；
（Ⅲ）問(wèn)集合{x∈R|f（x）-bx=0}（b∈R且為常數(shù)）的元素有多少個(gè)？（只需寫出結(jié)論）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的 切線方程進(jìn)行求解即可求x₀的值；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式f（x）＞x；
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)和方程之間的關(guān)系直接求解即可．

解答 （Ⅰ）解：$f'（x）=\frac{{{e^x}x-{e^x}}}{x^2}$，
因?yàn)榍芯�ax-y=0過(guò)原點(diǎn)（0，0），
所以$\frac{{{e^{x_0}}{x_0}-{e^{x_0}}}}{x_0^2}=\frac{{\frac{{{e^{x_0}}}}{x_0}}}{x_0}$，
解得x₀=2
（Ⅱ）證明：設(shè)$g（x）=\frac{f（x）}{x}=\frac{e^x}{x^2}（x＞0）$，則$g'（x）=\frac{{{e^x}（{x^2}-2x）}}{x^4}$．
令$g'（x）=\frac{{{e^x}（{x^2}-2x）}}{x^4}=0$，解得x=2，
當(dāng)x在（0，+∞）上變化時(shí)，g（x），g′（x）的變化情況如下表

x	（0，2）	2	（2，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	↘	$\frac{e^2}{4}$	↗

所以當(dāng)x=2時(shí)，g（x）取得最小值 $\frac{e^2}{4}$，
所以當(dāng)時(shí)x＞0時(shí)$g（x）≥\frac{e^2}{4}＞1$，即f（x）＞x．
（Ⅲ）解：當(dāng)b≤0時(shí)，集合{x∈R|f（x）-bx=0}的元素個(gè)數(shù)為0；
當(dāng)$0＜b＜\frac{e^2}{4}$時(shí)，集合{x∈R|f（x）-bx=0}的元素個(gè)數(shù)為1；
當(dāng)$b=\frac{e^2}{4}$時(shí)，集合{x∈R|f（x）-bx=0}的元素個(gè)數(shù)為2；
當(dāng)$b＞\frac{e^2}{4}$時(shí)，集合{x∈R|f（x）-bx=0}的元素個(gè)數(shù)為3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．