Question

6．已知數(shù)列{a_n}中a₁+a₂+a_3+…+a_n=2ⁿ-1，求a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²的值．

Answer 1

分析 由a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1，求出數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)是1，公比是2的等比數(shù)列，進(jìn)一步得到數(shù)列{a_n2}是等比數(shù)列，應(yīng)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得到結(jié)果．

解答 解：由a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1，得${S}_{n}={2}^{n}-1$，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=（{2}^{n}-1）-（{2}^{n-1}-1）$=2^n-1，
驗(yàn)證n=1時(shí)成立，
∴${a}_{n}={2}^{n-1}$，
則$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{{2}^{n}}{{2}^{n-1}}=2$，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)是1，公比是2的等比數(shù)列，
則數(shù)列{a_n2}是首項(xiàng)是1，公比是4的等比數(shù)列，
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=$\frac{1×（1-{4}^{n}）}{1-4}=\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，是中檔題．