Question

14．在△ABC中，若sinA、sinB、sinC成公比為q的等比數(shù)列，則q的取值范圍為（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）．

Answer 1

分析 利用正弦定理可知a，b，c成公比數(shù)列，公比為q．于是b=aq，c=aq²，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊列出不等式組解出q的范圍．

解答 解：∵sinA、sinB、sinC成公比為q的等比數(shù)列，
∴q=$\frac{sinB}{sinA}=\frac{sinC}{sinB}$，∴q=$\frac{a}=\frac{c}$．
∴b=aq，c=aq²．
由兩邊之和大于第三邊得：$\left\{\begin{array}{l}{a+aq＞a{q}^{2}}\\{a+a{q}^{2}＞aq}\\{aq+a{q}^{2}＞a}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+q＞{q}^{2}}\\{1+{q}^{2}＞q}\\{q+{q}^{2}＞1}\end{array}\right.$，解得：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜q＜$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故答案為（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）．

點評 本題考查了正弦定理，不等式的解法，屬于中檔題．