Question

【題目】已知函數(shù)定義域為，若對于任意的，都有，且時，有.

（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；

（2）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；

（3）設(shè)，若，對所有，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析；（2）增函數(shù)，證明見解析；（3）或.

【解析】

試題分析：（1）利用賦值法先求出，然后令，可得與的關(guān)系，從而判定函數(shù)的奇偶性；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義先在定義域上任取零點，并規(guī)定大小，然后判斷函數(shù)的大小，從而確定函數(shù)的單調(diào)性；（3）關(guān)于恒成立的問題常常進(jìn)行轉(zhuǎn)化，若，對所有，恒成立，可轉(zhuǎn)化成恒成立，然后將其看出關(guān)于的函數(shù)，即可求解.

試題解析：（1）因為有，

令，得，所以，

令可得：，所以，所以為奇函數(shù).

（2）∵是定義在上的奇函數(shù)，由題意設(shè)，

則，

由題意時，有，∴，∴是在上為單調(diào)遞增函數(shù)；

（3）因為在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在上的最大值為，

所以要使，對所有，恒成立，

只要，即恒成立.

令，得，

∴或.