設函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)的導函數(shù)為f′(x),f′(x)在區(qū)間(a,b)的導函數(shù)記為f″(x),若在區(qū)間(a,b)上的f″(x)<0恒成立,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上為“凸函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=
1
6
x4-
1
3
mx3-4x2+2,且當實數(shù)m滿足|m|<3時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(a-b,a+b)為“凸函數(shù)”,則a2+(b-3)2的最小值為( 。
A、2B、4C、6D、8
考點:利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:導數(shù)的綜合應用
分析:根據(jù)“凸函數(shù)”的定義,求出對應的求解,利用線性規(guī)劃的應用即可得到結論.
解答: 解:∵f(x)=
1
6
x4-
1
3
mx3-4x2+2,
∴f′(x)=4×
1
6
x3-mx2-8x,
f″(x)=2x2-2mx-8,
當|m|<3時,f″(x)=2x2-2mx-8<0恒成立,
即x2-mx-4<0恒成立,
?當-3<m<3時,g(m)=-xm+x2-4<0恒成立,
g(3)≤0
g(-3)≤0
,
-3x+x2-4≤0
3x+x2-4≤0
,
-1<x<4
-4<x<1
,解得-1<x<1.
則(a-b,a+b)⊆(-1,1),
a+b≤1
a-b≥-1
a-b<a+b
,作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖:
a2+(b-3)2的幾何意義是動點P(a,b)到定點D(0,3)的距離的平方,由圖象可知,當P位于A(0,1)時,
a2+(b-3)2的最小值為02+(1-3)2=4,
故選:B.
點評:本題主要考查新定義的應用,利用導數(shù)結合二次函數(shù),線性規(guī)劃以及距離公式是解決本題的關鍵.綜合性較強,難度較大.
練習冊系列答案
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①f(x)=x(x∈Z);
②f(x)=(
1
2
x+2(x∈Z);
③f(x)=log2x+1;
④f(x)=
2x-1
2x

其中為“斂2函數(shù)”的有(  )
A、①②B、③④
C、①②③D、②③④

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復數(shù)z=i(1-2i),(其中i為虛數(shù)單位)的實部為( 。
A、-1B、1C、-2D、2

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已知i是虛數(shù)單位,則復數(shù)-i(1+i)的實部與虛部的和等于(  )
A、2B、0C、-2D、1-i

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對于直線m,n和平面α,β,γ,有如下五個命題:
①若m∥α,m⊥n,則n⊥α;
②若m⊥α,m⊥n,則n∥α;
③若α⊥β,γ⊥β,則α∥γ;
④若m⊥α,m∥n,n?β,則α⊥β;
⑤若α∩β=l,β∩γ=m,l∥m,則α∥β.
其中正確的命題個數(shù)為( 。
A、1B、2C、3D、4

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