Question

20．下列不等式正確的是（　　）

• A． sin1＜2sin$\frac{1}{2}＜3sin\frac{1}{3}$
• B． 3sin$\frac{1}{3}＜2sin\frac{1}{2}$＜sin1
• C． sin1＜3sin$\frac{1}{3}＜2sin\frac{1}{2}$
• D． 2sin$\frac{1}{2}＜sin1＜3sin\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)y=xsinx，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后判斷選項(xiàng)．

解答 解：設(shè)y=xsin$\frac{1}{x}$，x∈[1，+∞），
則y′=sin$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x}$cos$\frac{1}{x}$，∵x∈[1，+∞），$\frac{1}{x}$∈（0，1]，
令t=$\frac{1}{x}$，則g（t）=sint-tcost，t∈（0，1]，
g′（t）=tsint，t∈（0，1]，
g′（t）＞0恒成立，所以函數(shù)g（t）=sint-tcost，t∈（0，1]，是增函數(shù)．g（t）=sint-tcost＞g（0）=0，
所以y′=sin$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x}$cos$\frac{1}{x}$，∵x∈[1，+∞），y′＞0恒成立，
y=xsin$\frac{1}{x}$，x∈[1，+∞），是增函數(shù)．
所以sin1＜2sin$\frac{1}{2}＜3sin\frac{1}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，構(gòu)造法前解本題，是解題的關(guān)鍵．