Question

12．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=2sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)），點(diǎn)P在曲線C上，以O(shè)x為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)Q的極坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$），則P，Q兩點(diǎn)距離的最大值為2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 將Q的坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，由兩點(diǎn)的距離公式，結(jié)合三角函數(shù)的同角公式和配方法，以及正弦函數(shù)的值域，即可得到最大值．

解答 解：設(shè)P（cosθ，2sinθ），
Q（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$）化為直角坐標(biāo)為Q（0，$\sqrt{3}$），
即有|PQ|=$\sqrt{（cosθ-0）^{2}+（2sinθ-\sqrt{3}）^{2}}$
=$\sqrt{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ-4\sqrt{3}sinθ+3}$
=$\sqrt{3si{n}^{2}θ-4\sqrt{3}sinθ+4}$=|$\sqrt{3}$sinθ-2|，
由-1≤sinθ≤1，
即有sinθ=-1，|PQ|取得最大值2+$\sqrt{3}$．
故答案為：2+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，考查橢圓的參數(shù)方程的運(yùn)用，同時(shí)考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，運(yùn)用正弦函數(shù)的值域是解題的關(guān)鍵．