Question

10．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E為DC的中點(diǎn)，沿AE將△AED折起，使二面角D-AE-B為60．
（1）求DE與平面AC所成角的大��；
（2）求二面角D-EC-B的大�。�

Answer 1

分析 （1）作DO垂直面ABCD，垂足為O，過O作OF垂直AE于F，連接DF、OE，則∠OFD為二面角D-AE-B的平面角等于60°，∠OED為直線DE與面ABCD所成角，解△OFD和△OED，計(jì)算即可；
（2）過O作OG⊥CE于G，連接DG、FD′，則∠OGD為二面角D-EC-B的平面角，利用Rt△D′FE∽R(shí)t△D′GO求出EG，解△EDG、△ODG，計(jì)算即可．

解答 解：作DO⊥面ABCD，垂足為O，過O作OF垂直AE于F、作OG⊥CE于G，
連接DF、DG、OE、FD′，
則DF⊥AE、DG⊥CE，∠OFD為二面角D-AE-B的平面角，∠OFD=60°．
（1）∠OED為直線DE與面ABCD所成角，
AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵DF•AE=AD•DE，
∴DF=$\frac{AD•DE}{AE}$=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$，
又∵$\frac{DO}{DF}$=sin∠OFD=sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DO=DF•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{39}}{13}$，
∴sin∠OED=$\frac{DO}{DE}$=$\frac{\frac{3\sqrt{39}}{13}}{2}$=$\frac{3\sqrt{39}}{26}$，
∴DE與平面AC所成角的大小為arcsin$\frac{3\sqrt{39}}{26}$；
（2）∠OGD為二面角D-EC-B的平面角，
由（1）知DF=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$，DO=$\frac{3\sqrt{39}}{13}$，DE=2，
∴EF=$\sqrt{D{E}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{4-\frac{36}{13}}$=$\frac{4\sqrt{13}}{13}$，
OF=$\sqrt{D{F}^{2}-D{O}^{2}}$=$\sqrt{\frac{36}{13}-\frac{27}{13}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$，
∴OE=$\sqrt{F{E}^{2}+F{O}^{2}}$=$\sqrt{\frac{16}{13}+\frac{9}{13}}$=$\frac{5\sqrt{13}}{13}$，
∵Rt△D′FE∽R(shí)t△D′GO，
∴D′G=$\frac{D′F}{DE}•D′O$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}•$（$\frac{6\sqrt{13}}{13}$+$\frac{3\sqrt{13}}{13}$）=$\frac{27}{13}$，
∴EG=$\frac{27}{13}$-2=$\frac{1}{13}$，
∴OG=$\sqrt{O{E}^{2}-E{G}^{2}}$=$\sqrt{\frac{25}{13}-\frac{1}{13×13}}$=$\frac{18}{13}$，
∴tan∠OGD=$\frac{DO}{GO}$=$\frac{\frac{3\sqrt{39}}{13}}{\frac{18}{13}}$=$\frac{\sqrt{39}}{6}$，
∴二面角D-EC-B的大小為arctan$\frac{\sqrt{39}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面、平面與平面所成的角，其中添加輔助線，構(gòu)造出所求角的平面角，將線面夾角問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題是解答本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于難題．