Question

5．已知f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+2x在[$\frac{1}{2}$，+∞）單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)n∈N^*，試比較（$\frac{n}{n+1}$）^n（n+1）與（$\frac{1}{e}$）ⁿ⁺²的大小，并證明．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，然后在定義域內(nèi)研究導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可；
（2）只需g′（x）≥0在區(qū)間$[\frac{1}{2}，+∞）$上恒成立即可，然后分離參數(shù)a，研究不等號(hào)另一側(cè)函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)不難解決；
（3）兩邊取對(duì)數(shù)，然后將不等號(hào)右邊適當(dāng)縮小，最終轉(zhuǎn)化為證明ln（x+1）＜x，x∈（0，1）時(shí)恒成立即可．

解答 解：（1）f（x）=$lnx+\frac{1}{x}$，（x＞0）．
所以$f′（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}=\frac{x-1}{{x}^{2}}$，令f′（x）＞0得x＞1；f′（x）＜0得0＜x＜1．
所以f（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增．
（2）g（x）=$lnx+\frac{a}{x}+2x$，（x＞0）．
由題意$g′（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{{x}^{2}}+2$≥0在[$\frac{1}{2}，+∞$）上恒成立．
即$a≤2{x}^{2}+x=2（x+\frac{1}{4}）^{2}-\frac{1}{8}$，x$≥\frac{1}{2}$時(shí)恒成立．
顯然當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，右式的最小值為1，
故a≤1即為所求．
（3）對(duì)于（$\frac{n}{n+1}$）^n（n+1）與（$\frac{1}{e}$）ⁿ⁺²，因?yàn)閚∈N^*，
所以只需比較$n（n+1）ln\frac{n}{n+1}$，與$（n+1）ln\frac{1}{e}$的大小，又n+1＞0，
所以只需比較nln$\frac{n}{n+1}$與-1的大小，
即比較$-nln\frac{n+1}{n}=-nln（1+\frac{1}{n}）$與-1的大小，
也就是比較$ln（1+\frac{1}{n}）$與$\frac{1}{n}$的大小，令t=$\frac{1}{n}∈（0，1）$．
則函數(shù)g（x）=ln（1+x）-x，x∈（0，1）．
因?yàn)?g′（x）=\frac{1}{x+1}-1=\frac{-x}{x+1}＜0$，所以g（x）在（0，1）上遞減，
所以g（x）_max=g（0）=0．
故g（x）＜0，x∈（0，1）時(shí)恒成立，
所以ln（$1+\frac{1}{n}$）$＜\frac{1}{n}$恒成立，依次逆推回去可得
（$\frac{n}{n+1}$）^n（n+1）＞（$\frac{1}{e}$）ⁿ⁺²．

點(diǎn)評(píng) 本題的前兩問(wèn)屬于常規(guī)題型，第三問(wèn)充分利用取對(duì)數(shù)、轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，要注意每一步轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，有一定技巧性．