Question

15．已知在△ABC中，AB=AC，AC邊上的中線長(zhǎng)為9，當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，AB的長(zhǎng)為6$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)AB=AC=2x，三角形的頂角θ，則由余弦定理求得cosθ的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得sinθ，最后根據(jù)三角形面積公式表示出三角形面積的表達(dá)式，根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)求得面積的最大值時(shí)的x即可．

解答 解：設(shè)AB=AC=2x，AD=x．
設(shè)三角形的頂角θ，則由余弦定理得cosθ=$\frac{（{2x）}^{2}+{x}^{2}-81}{2×2x•x}$=$\frac{5{x}^{2}-81}{4{x}^{2}}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-{cos}^{2}θ}$=$\sqrt{1-{（\frac{5{x}^{2}-81}{4{x}^{2}}）}^{2}}$=$\sqrt{\frac{-9{x}^{4}+810{x}^{2}-{81}^{2}}{（{4{x}^{2}）}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{-（{{x}^{2}-45）}^{2}+{45}^{2}-729}}{4{x}^{2}}$，
 根據(jù)公式三角形面積S=$\frac{1}{2}$absinθ=$\frac{1}{2}$×2x•2x•$\frac{3\sqrt{-{（{x}^{2}-45）}^{2}+{45}^{2}-729}}{4{x}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{-{（{x}^{2}-45）}^{2}+{45}^{2}-729}}{2}$，
∴當(dāng) x²=45時(shí)，三角形面積有最大值．此時(shí)x=3$\sqrt{5}$．
AB的長(zhǎng)：6$\sqrt{5}$．
故答案為：6$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，根據(jù)條件設(shè)出變量，根據(jù)三角形的面積公式以及三角函數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的最值，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．運(yùn)算量較大．