Question

10．已知a＞0，b＞0，且$\frac{{a}^{2}+^{2}}$≤a，求證：$\frac{{a}^{2}+^{2}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 利用基本不等式，可得$\frac{{a}^{2}+^{2}}$≤$\frac{1}{2a}$，再分類討論，即可得出結論．

解答 解：∵a＞0，b＞0，
∴a²+b²≥2ab，
∴$\frac{{a}^{2}+^{2}}$≤$\frac{1}{2a}$，
令a=$\frac{1}{2a}$（a＞0），則a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
令a＞$\frac{1}{2a}$，則a＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
令a＜$\frac{1}{2a}$，則0＜a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵$\frac{{a}^{2}+^{2}}$≤a，
∴$\frac{{a}^{2}+^{2}}$∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．
∴$\frac{{a}^{2}+^{2}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)最值的應用，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．