Question

3．在△ABC中，AB=AC，AC邊上的中線長為9，當△ABC的面積最大時，AB的長為（　�。�

• A． 9$\sqrt{3}$
• B． 9$\sqrt{5}$
• C． 6$\sqrt{3}$
• D． 6$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 設AB=AC=2x，三角形的頂角θ，則由余弦定理求得cosθ的表達式，進而根據同角三角函數(shù)基本關系求得sinθ，最后根據三角形面積公式表示出三角形面積的表達式，根據一元二次函數(shù)的性質求得面積的最大值，求出x即可．

解答 解：設AB=AC=2x，AD=x．
設三角形的頂角θ，則由余弦定理得cosθ=$\frac{（{2x）}^{2}+{x}^{2}-81}{2×2x•x}$=$\frac{5{x}^{2}-81}{4{x}^{2}}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-{cos}^{2}θ}$=$\sqrt{1-{（\frac{5{x}^{2}-81}{4{x}^{2}}）}^{2}}$=$\sqrt{\frac{-9{x}^{4}+810{x}^{2}-{81}^{2}}{（{4{x}^{2}）}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{-（{{x}^{2}-45）}^{2}+{45}^{2}-729}}{4{x}^{2}}$，
 根據公式三角形面積S=$\frac{1}{2}$absinθ=$\frac{1}{2}$×2x•2x•$\frac{3\sqrt{-{（{x}^{2}-45）}^{2}+{45}^{2}-729}}{4{x}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{-{（{x}^{2}-45）}^{2}+{45}^{2}-729}}{2}$，
∴當 x²=45時，三角形面積有最大值．此時x=3$\sqrt{5}$．
AB的長：6$\sqrt{5}$．
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)最值的應用，根據條件設出變量，根據三角形的面積公式以及三角函數(shù)的關系是解決本題的關鍵，利用二次函數(shù)的性質即可求出函數(shù)的最值，考查學生的運算能力．運算量較大．