Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A₁，A₂，且|A₁A₂|=4，P為橢圓上異于A₁，A₂的點，PA₁和PA₂的斜率之積為-$\frac{3}{4}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)O為橢圓中心，M，N是橢圓上異于頂點的兩個動點，求△MON面積的最大值．

Answer 1

分析 對第（1）問，先由|A₁A₂|=4，得到橢圓左、右頂點的坐標(biāo)，再由PA₁和PA₂的斜率之積為$-\frac{3}{4}$，求出b²的值，即得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
對第（2）問，先設(shè)出直線MN的方程，再由弦長公式，得到△OMN的底邊MN的長，并由點到直線的距離公式得到△OMN的高，從而列出△OMN面積的表達(dá)式，最后可探求面積的最大值．

解答 解：（1）由|A₁A₂|=2a=4，得a=2，所以A₁（-2，0），A₂（2，0）．
設(shè)P（x₀，y₀），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}=-\frac{3}{4}}\\{\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=\frac{{4-x}_{0}^{2}}{4}}\\{\frac{{y}_{0}^{2}}{_{0}^{2}}=1-\frac{{x}_{0}^{2}}{4}}\end{array}\right.$，
解得b²=3．
于是，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．                                      
（2）①當(dāng)直線MN垂直于x軸時，設(shè)MN的方程為x=n，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{x=n}\end{array}\right.$，得$M（n，\sqrt{3-\frac{3}{4}{n}^{2}}）$，$N（n，-\sqrt{3-\frac{3}{4}{n}^{2}}）$，
從而S_△OMN=$\frac{1}{2}×n×2\sqrt{3-\frac{3}{4}{n}^{2}}$=$\sqrt{3{n}^{2}-\frac{3}{4}{n}^{4}}$=$\sqrt{3}•\sqrt{-\frac{1}{4}（{n}^{2}-2）^{2}+1}$，
當(dāng)n=±$\sqrt{2}$時，△OMN的面積取得最大值$\sqrt{3}$．                          
②當(dāng)直線MN與x軸不垂直時，設(shè)MN的方程為y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$消去y，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，化簡得4k²-m²+3＞0．           
則由韋達(dá)定理，得${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
從而|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=4$\sqrt{3}$$•\sqrt{1+{k}^{2}}•\frac{\sqrt{3+4{k}^{2}-{m}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$．
又因為原點O到直線MN的距離$d=\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
所以${S}_{△OMN}=\frac{1}{2}|MN|•d$
=$2\sqrt{3}•\frac{\sqrt{3+4{k}^{2}-{m}^{2}}•\sqrt{{m}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$≤$2\sqrt{3}•\frac{\frac{（3+4{k}^{2}-{m}^{2}）+{m}^{2}}{2}}{3+4{k}^{2}}=\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)3+4k²=2m²時，S_△OMN取得最大值$\sqrt{3}$．                         
綜合①②知，△OMN的面積取得最大值$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解及直線和橢圓相交時對應(yīng)三角形面積最值的探求，關(guān)鍵是聯(lián)立直線與橢圓的方程，由韋達(dá)定理及弦長公式、點到直線距離公式得到三角形面積的表達(dá)式，再利用基本不等式獲得最值，求解時應(yīng)注意以下幾點：
1．對斜率不存在的情況進(jìn)行討論．
2．聯(lián)立直線與橢圓的方程消元后，得到關(guān)于x的一元二次方程，判別式△＞0．
3．利用基本不等式時必需滿足等號成立的條件．