Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，側棱PA⊥平面ABCD，E為AD的中點，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1；
（1）求二面角C-PB-E的余弦值；
（2）在線段PE上是否存在點M，使得DM∥平面PBC？若存在，求出點M的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）作Ez⊥AD，以E為原點，以$\overrightarrow{EB}$，$\overrightarrow{ED}$的方向分別為x軸，y軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系E-xyz，則點E（0，0，0），P（0，-2，2），A（0，-2，0），B（2，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0）．求出平面PBC的法向量、平面PBE的法向量即可得二面角C-PB-E的余弦值；
（2）線段PE上存在點M，使得DM∥平面PBC”等價于$\overrightarrow{DM}$垂直面PBC的法向量．

解答 解：（1）作Ez⊥AD，以E為原點，以$\overrightarrow{EB}$，$\overrightarrow{ED}$的方向分別為x軸，y軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系E-xyz，
則點E（0，0，0），P（0，-2，2），A（0，-2，0），B（2，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0）．
∴$\overrightarrow{PB}$=（2，2，-2，），$\overrightarrow{BC}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{EP}$=（0，-2，2）．
設平面PBC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=x+y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-x+2y=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{n}$=（2，1，3）．
設平面PBE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=a+b-c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EP}=-b+c=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{2×0+1×1+3×1}{\sqrt{14}×\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$
由圖可知，二面角C-PB-E的余弦值為$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
（2）由（1）可知面PBC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（2，1，3），“線段PE上存在點M，使得DM∥平面PBC”等價于$\overrightarrow{DM}⊥\overrightarrow{n}$；
∵$\overrightarrow{PE}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PE}$=（0，2λ，-2λ），λ∈（0，1），
則M（0，2λ-2，2-2λ），$\overrightarrow{DM}$=（0，2λ-4，2-2λ）．
由$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{n}$=2λ-4+6-6λ=0．
解得λ=$\frac{1}{2}$，
所以線段PE上存在點M，即PE中點，使得DM∥平面PBC．

點評 本題考查了線面平行的判定，向量法求二面角、動點問題，考查了轉化思想，屬于中檔題．