Question

5．①$y=2{x^2}+\frac{4}{x}$的最小值為6；
②當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，$\frac{1}{a}+\frac{1}+2\sqrt{ab}≥4$；
③$y=x{（1-2x）^2}，（0＜x＜\frac{1}{2}）$最大值為$\frac{2}{27}$；
④當(dāng)且僅當(dāng)a，b均為正數(shù)時(shí)，$\frac{a}+\frac{a}≥2$恒成立．
以上命題是真命題的是②③．

Answer 1

分析 ①取x=-1時(shí)，$y=2{x^2}+\frac{4}{x}$=-2＜6，即可判斷出真假；
②當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，兩次利用基本不等式的性質(zhì)即可判斷出真假；
③$y=x{（1-2x）^2}，（0＜x＜\frac{1}{2}）$，可得y=$\frac{1}{4}×4x（1-2x）（1-2x）$≤$\frac{1}{4}（\frac{4x+1-2x+1-2x}{3}）^{3}$=$\frac{2}{27}$，即可判斷出真假；
④當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}＞$0時(shí)，$\frac{a}+\frac{a}≥2$恒成立，即可判斷出真假．

解答 解：①取x=-1時(shí)，$y=2{x^2}+\frac{4}{x}$=-2＜6，因此是假命題；
②當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，$\frac{1}{a}+\frac{1}+2\sqrt{ab}$$≥2\sqrt{\frac{1}{ab}}+2\sqrt{ab}$≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b＞0時(shí)取等號(hào)，是真命題；
③$y=x{（1-2x）^2}，（0＜x＜\frac{1}{2}）$，∴y=$\frac{1}{4}×4x（1-2x）（1-2x）$≤$\frac{1}{4}（\frac{4x+1-2x+1-2x}{3}）^{3}$=$\frac{2}{27}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{6}$時(shí)取等號(hào)．因此其最大值為$\frac{2}{27}$，是真命題；
④當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}＞$0時(shí)，$\frac{a}+\frac{a}≥2$恒成立，因此是假命題．
以上命題是真命題的是②③．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．