Question

20．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知$b=2，A=\frac{π}{3}$，且$\frac{c}{1-cosC}=\frac{cosA}$，則△ABC的面積為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$或$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知等式可得：sinAcosC=sinBcosC，解得cosC=0，或sinA=sinB，分類討論，分別求出c的值，利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：∵$\frac{c}{1-cosC}=\frac{cosA}$，可得：ccosA=b-bcosC，
∴由正弦定理可得：sinCcosA=sinB-sinBcosC，
∴sinCcosA=sinAcosC+cosAsinC-sinBcosC，可得：sinAcosC=sinBcosC，
∴cosC=0，或sinA=sinB，
∴當(dāng)cosC=0時，由C∈（0，π），可得：C=$\frac{π}{2}$，又$b=2，A=\frac{π}{3}$，可得：B=$\frac{π}{6}$，c=2b=4，可得：S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×2×4×sin\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$；
當(dāng)sinA=sinB時，由于A，B為三角形內(nèi)角，可得A=B=$\frac{π}{3}$，C=π-A-B=$\frac{π}{3}$，△ABC為等邊三角形，可得：S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
故選：D．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題．