【題目】已知橢圓的離心率為,點在橢圓上.

(1)求橢圓的方程;

(2)過橢圓的右焦點作互相垂直的兩條直線、,其中直線交橢圓于兩點,直線交直線點,求證:直線平分線段.

【答案】(1) (2)見證明

【解析】

1)利用,得到,然后代入點即可求解

2)設直線,以斜率為核心參數(shù),與橢圓聯(lián)立方程,把兩點全部用參數(shù)表示,得出的中點坐標為,然后再求出直線的方程,代入的中點即可證明成立

(1)由,所以

由點在橢圓上得解得,

所求橢圓方程為

(2)解法一:當直線的斜率不存在時,直線平分線段成立

當直線的斜率存在時,設直線方程為,

聯(lián)立方程得,消去

因為過焦點,所以恒成立,設

,

所以的中點坐標為

直線方程為,,可得

所以直線方程為,

滿足直線方程,即平分線段

綜上所述,直線平分線段

(2)解法二:因為直線有交點,所以直線的斜率不能為0,

可設直線方程為,

聯(lián)立方程得,消去

因為過焦點,所以恒成立,設,

所以的中點坐標為

直線方程為,,由題可得,

所以直線方程為

滿足直線方程,即平分線段

綜上所述,直線平分線段

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A.B.C.D.

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A. B. C. D.

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質(zhì)量指標

頻數(shù)

一年內(nèi)所需維護次數(shù)

(1)以每個區(qū)間的中點值作為每組指標的代表,用上述樣本數(shù)據(jù)估計該廠產(chǎn)品的質(zhì)量指標的平均值(保留兩位小數(shù));

(2)用分層抽樣的方法從上述樣本中先抽取件產(chǎn)品,再從件產(chǎn)品中隨機抽取件產(chǎn)品,求這件產(chǎn)品的指標都在內(nèi)的概率;

(3)已知該廠產(chǎn)品的維護費用為元/次,工廠現(xiàn)推出一項服務:若消費者在購買該廠產(chǎn)品時每件多加元,該產(chǎn)品即可一年內(nèi)免費維護一次.將每件產(chǎn)品的購買支出和一年的維護支出之和稱為消費費用.假設這件產(chǎn)品每件都購買該服務,或者每件都不購買該服務,就這兩種情況分別計算每件產(chǎn)品的平均消費費用,并以此為決策依據(jù),判斷消費者在購買每件產(chǎn)品時是否值得購買這項維護服務?

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