Question

15．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)分別是A、B，直線x=m交橢圓于上下P、Q兩點(diǎn)，則直線AQ與直線PB的交點(diǎn)M的軌跡方程是$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（x≠0，y≠0）．

Answer 1

分析 利用三點(diǎn)共線建立方程，利用P（m，y₀）在橢圓上，化簡(jiǎn)即可求得軌跡方程．

解答 解：設(shè)P（m，y₀），Q（m，-y₀），直線AQ與直線PB的交點(diǎn)M（x，y），
∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)分別是A、B，
∴A（-a，0），B（a，0），
∵A、Q、M三點(diǎn)共線，
∴$\frac{y-0}{x+a}$=$\frac{0+{y}_{0}}{-a-m}$，…①
∵P、B、M三點(diǎn)共線，
∴$\frac{y-0}{x-a}$=$\frac{{y}_{0}-0}{m-a}$，…②
聯(lián)立①、②，解得：m=$\frac{{a}^{2}}{x}$，y₀=-$\frac{ay}{x}$，
∵P（m，y₀）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上，
∴$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}$=1，即$\frac{\frac{{a}^{4}}{{x}^{2}}}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{{a}^{2}{y}^{2}}{{x}^{2}}}{^{2}}$=1，
整理得：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
∴點(diǎn)M的軌跡方程是：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（x≠0，y≠0），
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（x≠0，y≠0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程和性質(zhì)，考查三點(diǎn)共線的知識(shí)和化簡(jiǎn)整理的能力，考查運(yùn)算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．