Question

20．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，直線l過橢圓的右焦點(diǎn)F₂與橢圓交于A、B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)直線l的斜率為1，點(diǎn)P為橢圓上的動點(diǎn)，滿足使得△ABP的面積為$\frac{2\sqrt{5}-2}{3}$的點(diǎn)P有幾個？并說明理由；
（2）△ABF₁的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1\\ x-y-1=0\end{array}\right.$求出AB坐標(biāo)，進(jìn)而可求AB，設(shè)x-y-C=0與橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1相切，可求出滿足條件的兩條切點(diǎn)，判斷兩條切線與x-y-1=0的距離，可得使得△ABP的面積為$\frac{2\sqrt{5}-2}{3}$的點(diǎn)P有幾個．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨y₁＞0，y₂＜0，設(shè)△F₁MN的內(nèi)切圓的徑R，則△ABF₁的周長=4a=8，S_△ABF1=$\frac{1}{2}$（|AB|+|F₁A|+|F₁B|）R=4R，因此S_△ABF1最大，R就最大．設(shè)直線l的方程為x=my+1，與橢圓方程聯(lián)立，從而可表示△F₁MN的面積，利用換元法，借助于導(dǎo)數(shù)，即可求得結(jié)論．

解答 解：（1）橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
直線l的斜率為1時，直線方程為x-y-1=0，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1\\ x-y-1=0\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=-1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{3}\\ y=\frac{1}{3}\end{array}\right.$，
故A（0，-1），B（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），
則AB=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$，
設(shè)x-y-C=0與橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1相切，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1\\ x-y-C=0\end{array}\right.$得：$\frac{3}{2}{x}^{2}-2Cx+{C}^{2}-1=0$，
由$△=4{C}^{2}-4×\frac{3}{2}（{C}^{2}-1）=0$得：C=$±\sqrt{3}$，
當(dāng)P位于第二象限的切點(diǎn)時，P到直線AB的距離為：$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$，
此時△ABP的面積S=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}+2}{3}$＞$\frac{2\sqrt{5}-2}{3}$，
當(dāng)P位于第二象限的切點(diǎn)時，P到直線AB的距離為：$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$，
此時△ABP的面積S=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}-2}{3}$＜$\frac{2\sqrt{5}-2}{3}$，
故滿足△ABP的面積為$\frac{2\sqrt{5}-2}{3}$的點(diǎn)P有2個．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨y₁＞0，y₂＜0，設(shè)△ABF₁的內(nèi)切圓的徑R，
則△ABF₁的周長=4a=8，S_△ABF1=$\frac{1}{2}$（|MN|+|F₁M|+|F₁N|）R=4R
因此S_△ABF1最大，R就最大，…（6分）
由題知，直線l的斜率不為零，可設(shè)直線l的方程為x=my+1，
由 $\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1\end{array}\right.$得（m²+2）y²+2my-1=0，…（8分）
得y₁=$\frac{m+\sqrt{2{m}^{2}+2}}{{m}^{2}+2}$，y₂=$\frac{m-\sqrt{2{m}^{2}+2}}{{m}^{2}+2}$，
則S_△ABF1=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|（y₁-y₂）=y₁-y₂=$\frac{2\sqrt{2{m}^{2}+2}}{{m}^{2}+2}$，…（9分）
令t=$\sqrt{{m}^{2}+1}$，則t≥1，
則S_△ABF1=$\frac{2\sqrt{2{m}^{2}+2}}{{m}^{2}+2}$=$\frac{2\sqrt{2}t}{{t}^{2}+1}$=$\frac{2\sqrt{2}}{t+\frac{1}{t}}$，…（10分）
令f（t）=$t+\frac{1}{t}$，則f′（t）=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$，
當(dāng)t≥1時，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
有f（t）≥f（1）=2，S_△ABF1≤$\sqrt{2}$，
即當(dāng)t=1，m=0時，S_△ABF1=$\sqrt{2}$，
S_△ABF1=4R，
∴R_max=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
這時所求內(nèi)切圓面積的最大值為$\frac{1}{8}$π．
故直線l：x=1，△_△ABF1內(nèi)切圓面積的最大值為$\frac{1}{8}$π…（12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，分析得出S_△ABF1最大，R就最大是關(guān)鍵