Question

10．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n+a_n-1=4n（n≥2）
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)均構(gòu)成等差數(shù)列；
（Ⅱ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用a_n+a_n-1=4n（n≥2），a_n+1+a_n=4（n+1），可得a_n+1-a_n-1=4．（n≥2）．即可證明．
（II）由（1）可得：（a_n+1-a_n）=（a_n-a_n-1）=2，（n≥2）．利用等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式即可得出．
（III）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 （I）證明：∵a_n+a_n-1=4n（n≥2），a₁=3，
∴a_n+1+a_n=4（n+1），a₁+a₂=8，即a₂=5．
∴a_n+1-a_n-1=4．（n≥2）．
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)均構(gòu)成等差數(shù)列，公差都為4，其首項(xiàng)分別為3，5．
（II）解：由（1）可得：
（a_n+1-a_n）=（a_n-a_n-1）=2，（n≥2）．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為3，公差為2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（III）解：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$
=$\frac{n}{6n+9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．