Question

17．（1-x+x²）¹⁰的展開式中x³的系數(shù)為（　�。�

• A． -30
• B． 30
• C． -210
• D． 210

Answer 1

分析 先求得二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于3，求得r的值，即可求得x³項(xiàng)的系數(shù)．

解答 解：（1-x+x²）¹⁰=[（x²-x）+1]¹⁰ 的展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=C₁₀^r（x²-x）^10-r．
對(duì)于（x²-x）^10-r，通項(xiàng)公式為T_r′+1=（-1）^r′C₁₀^r（x²-x）^20-2r-2r′．
令20-2r-r′=3，根據(jù)0≤r′≤10-r，r、r′為自然數(shù)，求得$\left\{\begin{array}{l}{r=8}\\{r′=1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{r=7}\\{r′=3}\end{array}\right.$．
∴（x²-x+1）¹⁰展開式中x³項(xiàng)的系數(shù)為C₁₀⁸C₂¹•（-1）+C₁₀⁷C₃³•（-1）=-90-120=-210，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．