Question

11．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₅=5，S₅=15，求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式可得a_n，再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₅=5，S₅=15，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=5}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=15}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=1，
∴a_n=1+（n-1）=n．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．