Question

15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠ABC=60°，PA=$\sqrt{6}$，M為PC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線PB與MD所成的角的大�。�
（2）求平面PCD與平面PAD所成的二面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）建立坐標(biāo)系設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，以O(shè)為頂點(diǎn)，向量$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OD}$為x，y軸，平行于AP且方向向上的向量為z軸建立直角坐標(biāo)系．求解得出COS＜$\overrightarrow{MD}$，$\overrightarrow{PB}$＞=$\frac{\overrightarrow{MD}•\overrightarrow{PB}}{|MD|•|\overrightarrow{PB}|}$即可得出夾角．
（2）求解平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}$₁=（x₁，y₁，z₁），平面PAD的法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x₂，y₂，z₂），利用cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}•}\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$，得出sin＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\sqrt{30}}{6}$．即可得出平面PCD與平面PAD所成的二面角的正弦值．

解答 解：（1）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，以O(shè)為頂點(diǎn)，向量$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OD}$為x，y軸，平行于AP且方向向上的向量為z軸建立直角坐標(biāo)系．
則A（-1，0，0），C（1，0，0），B（0，-$\sqrt{3}$，0），D（0，$\sqrt{3}$，0），P（-1，0，$\sqrt{6}$），
所以M（0，0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），$\overrightarrow{MD}$=（0，$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），$\overrightarrow{PB}$=（1，-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{6}$），
COS＜$\overrightarrow{MD}$，$\overrightarrow{PB}$＞=$\frac{\overrightarrow{MD}•\overrightarrow{PB}}{|MD|•|\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{-3+3}{\sqrt{3+\frac{3}{2}}•\sqrt{1+3+6}}$=0，
所以異面直線PB與MD所成的角為90°．
（2）設(shè)平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}$₁=（x₁，y₁，z₁），平面PAD的法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x₂，y₂，z₂），
因?yàn)?\overrightarrow{CD}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{PD}$=（1，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{6}$），$\overrightarrow{PA}$=（0，0，-$\sqrt{6}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{{n}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{{n}_{1}}=0}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}{-{x}_{1}+\sqrt{3}{y}_{1}=0}\\{{x}_{1}+\sqrt{3}{y}_{1}-\sqrt{6}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$
令y₁=1，得出$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（$\sqrt{3}$，1，$\sqrt{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{PA}=-\sqrt{6}{z}_{2}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{PD}={x}_{2}+\sqrt{3}{y}_{2}-{z}_{2}=0}\end{array}\right.$令y₂=-1，得$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（$\sqrt{3}$，-1，0），
所以cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}•}\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{3-1}{\sqrt{6}×2}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，所以sin＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\sqrt{30}}{6}$．
即可得出平面PCD與平面PAD所成的二面角的正弦值$\frac{\sqrt{30}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間向量解決直線與直線的夾角，平面于平面的夾角，關(guān)鍵是準(zhǔn)確求解向量的坐標(biāo)，數(shù)量積，屬于中檔題．