Question

10．設(shè)數(shù)列{a_2n-1}是首項為1的等差數(shù)列，數(shù)列{a_2n}是首項為2的等比數(shù)列，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n（n∈N^*），已知S₃=a₄，a₃+a₅=a₄+2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求滿足S_2n＜100的所有n的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，由已知條件利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)列出方程組，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）根據(jù)數(shù)列{a_n}的通項公式，求出S_2n．由此能求出滿足S_2n＜100的所有n的值．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，
則a₁=1，a₂=2，a₃=1+d，a₄=2q，a₅=1+2d，
∵S₃=a₄，a₃+a₅=a₄+2．
∴$\left\{\begin{array}{l}{4+d=2q}\\{（1+d）+（1+2d）=2+2q}\end{array}\right.$，
解得d=2，q=3，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n=2k-1}\\{2•{3}^{\frac{n}{2}-1}，n=2k}\end{array}\right.$．
（2）當(dāng)n=1時，S_2n=a₁+a₂=1+2=3＜100，成立．
當(dāng)n≥2時，S_2n=$\frac{（n+2n-1）n}{2}+\frac{2（1-{3}^{n}）}{1-3}$
=n²+3ⁿ-1．
由S_2n=n²+3ⁿ-1＜100，解得n＜5．
∴滿足S_2n＜100的所有n的值為1，2，3，4．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要注意分類討論思想和等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．