如圖:已知BC是半徑為1的半圓O的直徑,A是半圓周上不同于B,C的點,F(xiàn)為弧AC的中點.在梯形ACDE中,DE∥AC且AC=2DE,平面ACDE⊥平面ABC.求證:
(1)直線AB⊥平面ACDE;    
(2)直線BE∥平面DOF.
考點:直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定
專題:綜合題,空間位置關系與距離
分析:(1)在半圓中,AB⊥AC,而平面ACDE⊥平面ABC,且交線為AC,故由兩平面垂直的性質定理可知:AB⊥平面ACDE;
(2)設OF∩AC=M,連接DM,OA,由F為弧AC的中點,得M為AC的中點,所以DE∥
1
2
AC,得四邊形AMDE為平行四邊形,從而DM∥AE,DM∥平面ABE;由OM∥AB得,OM∥平面ABE;由兩個平面平行的判定定理,可知平面OFD∥平面BAE,即可證明直線BE∥平面DOF.
解答: 證明:(1)∵BC是半圓O的直徑,A是半圓周上不同于B,C的點AC
∴∠BAC=90°,∴AC⊥AB
∵平面ACDE⊥平面ABC,平面ACDE∩平面ABC=AC,AB?平面ABC
∴由兩個平面垂直的性質得,AB⊥平面ACDE;
(2)如圖,設OF∩AC=M,連接DM,OA
∵F為弧AC的中點,
∴M為AC的中點.
∵AC=2DE,DE∥AC
∴DE∥AM,DE=AM
∴四邊形AMDE為平行四邊形.
∴DM∥AE
∵DM?平面ABE,AE?平面ABE
∴DM∥平面ABE
∵O為BC中點
∴OM為三角形ABC的中位線
∴OM∥AB
∵OM?平面ABE,AB?平面ABE
∴OM∥平面ABE
∵OM?平面OFD,DM?平面OFD,OM∩DM=M
∴由兩個平面平行的判定定理可知,平面OFD∥平面ABE,
∵BE?平面ABE,
∴直線BE∥平面DOF.
點評:本題主要考查了兩個平面垂直的性質定理及判定定理、兩個平面平行的判定定理,體現(xiàn)了線線、線面、面面之間關系的相互轉化.
練習冊系列答案
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