Question

如圖，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，四邊形EFGH為平行四邊形．

（1）求證：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
（2）若AB=4，CD=6，AB，CD所成的角為60°，求四邊形EFGH的面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出EF∥HG，從而得到EF∥平面ABD，進而得到EF∥AB，由此能證明AB∥平面EFGH，同理CD平面EFGH．
（2）由EF∥AB，EH∥CD，得到∠FEH或其補角即為AB，CD所成的角．由此能求出四邊形EFGH的面積的最大值．

解答： （1）證明：∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF∥HG．
∵HG?平面ABD，EF不在平面ABC內(nèi)，
∴EF∥平面ABD．…（2分）
∵EF?平面ABD，平面ABD∩平面ABC=AB，
∴EF∥AB．
∵EF?平面EFGH，AB不包含于平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH，…（5分）
同理CD平面EFGH．…（6分）
（2）解：∵EF∥AB，EH∥CD，
∴∠FEH或其補角即為AB，CD所成的角．
設(shè)EF=x，EH=y．
由EF∥AB，EH∥CD，得

EF

AB

=

CE

CA

，

EH

CD

=

AE

CA

，
∴

EF

AB

+

EH

CD

=

CE

CA

+

AE

CA

=1，
∵AB=4，CD=6，∴

x

4

+

y

6

=1，∴y=6（1-

x

4

），
∴S_△EFGH=xysin60°=

3

2

x•6(1-

x

4

)
=

3 3

4

[-(x-2)2+4]≤3

3

，
∴x=2時，四邊形EFGH的面積有最大值是3

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查四邊形面積最大值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．