Question

設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足a_n+1²=4S_n+4n-3，且a₂，a₅，a₁₄恰好是等比數(shù)列{b_n}的前三項．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）記數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，若對任意的n∈N^*，（T_n+

3

2

）k≥3n-6恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)a_n+1²=4S_n+4n-3得，當n≥2時，a_n²=4S_n-1+4（n-1）-3，兩個式子相減利用a_n與S_n的關(guān)系化簡，由等差數(shù)列的定義得：當n≥2時，{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，再由條件求出a₂、a₁的值，從而求出a_n，由等比數(shù)列的通項公式求出b_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和等比數(shù)列的前n項和公式得：T_n=

3n+1-3

2

，代入不等式（T_n+

3

2

）k≥3n-6再分離參數(shù)得：k≥

2n-4

3n

，令cn=

2n-4

3n

，利用作差確定數(shù)列{c_n}的單調(diào)性，求出數(shù)列的最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得，a_n+1²=4S_n+4n-3，
當n≥2時，a_n²=4S_n-1+4（n-1）-3，
兩個式子相減得，a_n+1²-a_n²=4a_n+4，
即a_n+1²=（a_n+2）²，
又a_n＞0，∴a_n+1=a_n+2，
當n≥2時，{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，
因為a₂，a₅，a₁₄構(gòu)成等比數(shù)列，所以a52=a2•a14，
即(a2+6)2=a2•(a2+24)，解得a₂=3，
把n=1代入a_n+1²=4S_n+4n-3得，a22=4a1+4-3，解得a₁=2，
又a₂-a₁=3-2≠2，則數(shù)列{a_n}是從第二項起以2為公差的等差數(shù)列，
所以數(shù)列{a_n} 的通項公式為a_n=

2，n=1 2n-1，n≥2

，
由題意知，b₁=a₂=3，b₂=a₅=9，b₃=a₁₄=27，且{b_n}是等比數(shù)列，
所以{b_n}的通項公式b_n=3ⁿ；
（2）由（1）得，b_n=3ⁿ，
所以數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n=

3(1-3n)

1-3

=

3n+1-3

2

，
因為對任意的n∈N^*，（T_n+

3

2

）k≥3n-6恒成立，
所以（

3n+1-3

2

+

3

2

）k≥3n-6對任意的n∈N^*恒成立，
即k≥

2n-4

3n

對任意的n∈N^*恒成立，
令cn=

2n-4

3n

，則cn+1-cn=

2(n+1)-4

3n+1

-

2n-4

3n

=

10-4n

3n+1

=

2(5-2n)

3n+1

，
當n≤2時，c_n+1＞c_n，當n≥3時，c_n+1＜c_n，
所以cn=

2n-4

3n

的最大項是c₃=

2×3-4

33

=

2

27

，
所以k≥

2

27

．

點評：本題考查了a_n與S_n的關(guān)系，等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)列的前n項和公式，數(shù)列的恒成立轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的最大項問題，通過作差研究數(shù)列的單調(diào)性也是常用的方法，難度較大，一定要注意n的取值范圍．