Question

【題目】已知，滿足，且的兩實(shí)根之積為4．

（1）求的解析式；

（2）求函數(shù)，在上的最大值（用表示）．

Answer 1

【答案】（1）f（x）=x2-4x+4（2）g（x）max=

【解析】

（1）利用求得的對(duì)稱(chēng)軸，進(jìn)而求得，利用根與系數(shù)關(guān)系求得，進(jìn)而求得函數(shù)的解析式.

（2）首先化簡(jiǎn)的解析式，求得其對(duì)稱(chēng)軸為，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸和求解的位置關(guān)系對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域的求法，求得在上最大值的表達(dá)式.

（1）根據(jù)題意，f（x）=x2+ax+b，滿足f（-2）=f（6），則其對(duì)稱(chēng)軸x=2，

則a=-4，

又由f（x）=0的兩實(shí)根之積為4，即x2+ax+b=0的兩根之積為4，b=4，

則f（x）=x2-4x+4，

（2）由（1）的結(jié)論，f（x）=x2-4x+4，則g（x）=2mx-f（x）=-x2+（2m+4）x-4=-[x-（m+2）]2+m2+4m，

其對(duì)稱(chēng)軸為x=m+2，

分3種情況：

當(dāng)m+2＜0，即m＜-2時(shí)，g（x）在[0，2]上為減函數(shù)，則g（x）max=g（0）=-4，

當(dāng)0≤m+2≤2，即-2≤m≤0時(shí)，則g（x）max=g（m+2）=m2+4m，

當(dāng)m+2＞2，即m＞0時(shí)，g（x）在[0，2]上為增函數(shù)，則g（x）max=g（2）=4m，

故g（x）max=．