Question

19．設(shè)f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$，g（x）=alnx（a＞0）．
（Ⅰ）求函數(shù)F（x）=f（x）•g（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)G（x）=f（x）-g（x）+（a-1）x在區(qū)間$（\frac{1}{e}，e）$內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）求證：當(dāng)x＞0時(shí)，lnx+$\frac{3}{{4{x^2}}}-\frac{1}{e^x}$＞0．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，然后據(jù)此得到原函數(shù)的極大值或極小值點(diǎn)；
（2）先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值及最值的情況，然后結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想構(gòu)造出關(guān)于a的不等式（組）求解；
（3）先將原不等式變形為兩個(gè)函數(shù)比較大小的情形，然后轉(zhuǎn)換為兩個(gè)函數(shù)最值的比較問題，還是利用導(dǎo)數(shù)研究．

解答 解：（1）F（x）=f（x）•g（x）=$\frac{1}{2}a{x}^{2}lnx，F(xiàn)′（x）=axlnx+\frac{1}{2}ax$=$\frac{1}{2}ax（2lnx+1）$．
故F（x）在$（0，{e}^{-\frac{1}{2}}）$上遞減，在$（{e}^{-\frac{1}{2}}，+∞）$上遞增，所以$x={e}^{-\frac{1}{2}}$為極小值點(diǎn)，
所以$F（x）_{極小值}=F（{e}^{-\frac{1}{2}}）$=$-\frac{a}{4e}$，無(wú)極大值．
（2）$G（x）=\frac{1}{2}{x}^{2}-alnx+（a-1）x$．所以$G′（x）=x-\frac{a}{x}+a-1=\frac{（x+a）（x-1）}{x}$．
由G′（x）=0得x=1或x=-a（舍去）．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，G′（x）＜0，G（x）單調(diào)遞減；x∈（1，+∞）時(shí)，G′（x）＞0，G（x）單調(diào)遞增．
要使G（x）在$（\frac{1}{e}，e）$上有兩個(gè)零點(diǎn)需滿足：$\left\{\begin{array}{l}{G（\frac{1}{e}）＞0}\\{G（1）＜0}\\{G（e）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2{e}^{2}}+\frac{a-1}{e}+a＞0}\\{\frac{1}{2}+a-1＜0}\\{\frac{{e}^{2}}{2}+（a-1）e-a＞0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{2e-1}{2{e}^{2}+2e}}\\{a＜\frac{1}{2}}\\{a＞\frac{2e-{e}^{2}}{2e-2}}\end{array}\right.$．
下面比較$\frac{2e-1}{2{e}^{2}+2e}，\frac{2e-{e}^{2}}{2e-2}$的大小．
因?yàn)?\frac{2e-1}{2{e}^{2}+2e}-\frac{2e-{e}^{2}}{2e-2}$=$\frac{2e[{e}^{2}（e-1）-3]+2}{（2{e}^{2}+2e）（2e-2）}＞0$．
故$\frac{2e-1}{2{e}^{2}+2e}＞\frac{2e-{e}^{2}}{2e-2}$．故a的范圍是$（\frac{2e-1}{2{e}^{2}+2e}，\frac{1}{2}）$．
（3）原不等式等價(jià)于${x}^{2}lnx＞\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}-\frac{3}{4}$．
由（1）知f（x）=x²lnx的最小值為$-\frac{1}{2e}$．
設(shè)h（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}-\frac{3}{4}$，則$h′（x）=\frac{2x-{x}^{2}}{{e}^{x}}=-\frac{x（x-2）}{{e}^{x}}$．
因?yàn)閤＞0，所以h（x）在（0，2）單調(diào)遞增，在（2，+∞）單調(diào)遞減．
h（x）_max=h（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}-\frac{3}{4}$．
又因?yàn)?-\frac{1}{2e}-（\frac{4}{{e}^{2}}-\frac{3}{4}）=\frac{（3e-8）（e+2）}{4{e}^{2}}＞0$．
所以f（x）_min＞h（x）_min，故${x}^{2}lnx＞\frac{{x}^{2}}{{e}^{2}}-\frac{3}{4}$．
所以x＞0時(shí)，lnx$+\frac{3}{4{x}^{2}}-\frac{1}{{e}^{x}}＞0$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題中的應(yīng)用，以及通過(guò)這些應(yīng)用解決函數(shù)零點(diǎn)的分布問題、不等式的恒成立問題．